GÖDEL: DUALISMO E PREDICATIVO

KURT GÖDEL
_DUALISMO E PREDICATIVO 

VINICIUS DIAS DE SOUZA

Introdução ao Dualismo Dualismo de Propriedade e Substância

O dualismo da substância e o dualismo da propriedade são duas posições na filosofia da mente, e eles estão tentando responder perguntas como "Ei, qual a relação entre o mental e o físico?" Ou "o que há com a consciência?"

De acordo com o dualismo das substâncias, as coisas mentais e as coisas físicas são dois tipos totalmente diferentes de coisas. Isso provavelmente significaria que, não importa o quanto estudemos o cérebro, mesmo se conseguimos alcançar uma compreensão perfeita do funcionamento intrincado intrincado do cérebro, não será suficiente entender a mente , nem nossas experiências mentais de consciência subjetiva, porque estamos olhando a coisa errada da merda . "Ei, deixe de estudar esse cérebro, nem sequer é a droga certa, seu idiota." Talvez se descobrimos como o cérebro e a mente se ligariam, aprenderíamos algo sobre a mente, mas se o dualismo da substância é verdade, então nenhuma quantidade de informação sobre o cérebro seria suficiente para explicar completamente como a mente funciona.

De acordo com o dualismo da propriedade, no entanto, existe apenas um tipo de substância , e tem apenas diferentes tipos de propriedades. Então, nós só temos que olhar para uma coisa, o cérebro, e é aí que achamos propriedades mentais e propriedades físicas. Se entendêssemos completamente o cérebro, teríamos informações suficientes para explicar, mas também, significaria que há um monte de mais merda para entender sobre o cérebro do que se o dualismo da substância for verdade.

Então, em resumo: o dualismo da substância diz: "Oh, não, você tem a coisa errada inteiramente, estúpida" e o dualismo da propriedade diz "sim, não, continue, continue olhando o cérebro, nós o conseguiremos eventualmente".

Isso parece bastante simples - continuemos olhando o cérebro e se chegarmos ao fim e ainda não entendemos a mente, terminamos, certo? Mas aqui está o problema: como sabemos quando estamos no final?

Como digamos que poderíamos ir a Deus e dizer "Ei, Deus, achamos que descobrimos que esse cérebro caiu, mas ainda não conhecemos o trato com a mente. Você pode verificar o nosso trabalho?" Deus vê o que nos fez chegar  tão longe e então ele pode dizer uma das duas coisas:

Se o dualismo da substância for verdade, ele poderia dizer: "Oh, sim, isso está muito bem, você descobriu o cérebro, mas você olhou no lugar errado o tempo todo seus idiotas".

Se o dualismo da propriedade for verdade, ele poderia dizer: "Oh, não, veja, você tem todas as partes físicas do cérebro, claro, mas há uma merda extra lá, você precisa explicar, como a forma como surge a consciência. Sim, lamento, cara , você tem mais trabalho a fazer no cérebro depois de tudo ".

Os tradeoffs entre o dualismo da substância e o dualismo da propriedade são, na verdade, trocas reais na metafísica. Muitas vezes, quando temos duas teorias concorrentes, eles competem de forma específica: uma tem explicações mais simples e óbvias, mas também muito mais merda , e a outra exige apenas uma ou duas coisas para fazê-la funcionar, mas As explicações são de fortemente complicadas. Às vezes, chamamos esses dois tipos de teorias como abundantes e escassas, respectivamente.

E você pode ver por que isso pode acontecer, certo? Se pudéssemos explicar todo o universo usando fótons, nós faríamos. Por que complicar as coisas? Mas não podemos explicar todo o universo apenas em termos de fótons, então temos que adicionar coisas. Então, quando se trata de quantas coisas , o dualismo da propriedade passa a ser como "Ei, por que diabos você tem um tipo de coisa completamente diferente? De onde ele vem? Como isso se parece? Isso é tão extravagante e desnecessário, O que você é, dinheiro novo? Seu avô ainda é rico? "e o dualismo da substância tem que ser como" Ei, cala-se, então, e se é totalmente invisível e faltam uma descrição de como isso pode funcionar ".

Por outro lado, quando se trata de explicar o que eles estão tentando explicar (neste caso, algo como "a natureza da consciência"), o dualismo da substância acaba de dizer "isso é fácil, o mental é apenas um todo" Por outro lado, essa é a explicação ", enquanto o dualismo da propriedade tem que ser tudo "E se elaborar sobre a forma como a consciência vem do cérebro", o dualismo de substância tem de ser o elemento em comum que, desta forma, compõem o todo (a relação entre essência e objeto).  

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Definições Predicativas e Impredicativas

A distinção entre definições predicativas e impredicativas é hoje amplamente considerada como uma importante divisão da lógica e da filosofia da matemática. Diz- se que uma definição é impredicativa se generalizar sobre uma totalidade à qual pertence a entidade que está sendo definida. Caso contrário, a definição é dita como predicativa . Nos exemplos abaixo, (2) e (4) são impredicativos.

1. Seja π a relação entre a circunferência e o diâmetro de um círculo.
2. Seja n o número menos natural, de modo que n não possa ser escrito como a soma de no máximo quatro cubos.
3. Um número natural n é primo se e somente se n> 1 e os únicos divisores de n são 1 e n em si.
4. Uma pessoa x é geral - como se e somente se, por cada propriedade P que todos os generais grandes tenham, x também tem P.

A definição (1) é predicativa, uma vez que π é definido unicamente em termos de circunferência e diâmetro de algum círculo dado. A definição (2), por outro lado, é impredicativa, uma vez que esta definição generaliza sobre todos os números naturais, incluindo o próprio n. A definição (3) é predicativa, pois a propriedade de ser primária é definida sem qualquer generalização sobre as propriedades. Em contraste, a definição (4) é impredicativa, pois a propriedade de ser geral é definida por generalização sobre a totalidade de todas as propriedades.

As definições impetrficas têm sido controversas em lógica e a filosofia da matemática. Muitos proeminentes lógicos e filósofos - o mais importante, Henri Poincaré , Bertrand Russell e Hermann Weyl - rejeitaram definições tão viciosamente circulares. No entanto, verifica-se que a rejeição de tais definições exigiria uma grande revisão da matemática clássica. A visão contemporânea mais comum é provavelmente a de Kurt Gödel, que argumentou que as definições impredicativas são legítimas, desde que uma tenha uma visão realista das entidades em questão.

Embora poucos teóricos já rejeitem todas as definições impredicativas, é amplamente reconhecido que tais definições exigem pressupostos teóricos mais fortes do que as definições predicativas.

I. Paradoxos e o Princípio do Círculo Vicioso

A noção de predicatividade tem sua origem no debate do início do século XX entre Poincaré, Russell e outros sobre a natureza e fonte dos paradoxos lógicos . ([Poincaré 1906], [Russell 1908]) Então, será útil rever alguns dos paradoxos lógicos mais importantes.

O paradoxo de Russell . Deixe a classe Russell R ser a classe de todas as classes que não são membros de si mesmas. Se R é um membro em si, então não satisfaz o critério de associação e, portanto, não é um membro em si. Se, por outro lado, R não é um membro em si, então satisfaz o critério de associação e, portanto, é um membro de si mesmo, afinal. Assim, R é um membro de si mesmo iff (se e somente se) R não é um membro em si.

O paradoxo mentiroso . "Esta frase é falsa". Se esta frase citada for verdadeira, então o que diz é correto, o que significa que a sentença é falsa. Se, por outro lado, a frase é falsa, então o que diz é correto, o que significa que a sentença é verdadeira. Assim, a sentença é verdadeira, caso seja falso.

O paradoxo de Berry . Existem apenas algumas cordas finais do alfabeto inglês de menos de 200 caracteres. Mas existem infinitamente muitos números naturais. Portanto, deve haver um número mínimo de números não mencionados em menos de 200 caracteres. Mas acabamos de chamá-lo em menos de 200 caracteres!

Poincaré e Russell argumentaram que os paradoxos são causados ​​por alguma forma de circularidade viciosa. O que corre mal, eles alegaram, é que uma entidade é definida, ou uma proposição é formulada, de forma inaceptablemente circular. Às vezes, essa circularidade é transparente, como no paradoxo mentiroso. Mas em outros paradoxos não existe uma circularidade explícita. Por exemplo, a definição da classe Russell não faz referência explícita à classe que está sendo definida. Nem a definição no paradoxo de Berry faz uma referência explícita a si mesma.

No entanto, Poincaré e Russell argumentaram que paradoxos como Russell e Berry são culpados de uma forma implícita de circularidade. O problema com a classe Russell é dito ser que sua definição generaliza sobre uma totalidade à qual a classe definida pertenceria. Isso ocorre porque a classe Russell é definida como a classe cujos membros são todos e somente os objetos não-auto-associados. Portanto, um dos objetos que precisa ser considerado para ser membro da classe Russell é essa mesma classe. Da mesma forma, a definição no paradoxo de Berry generaliza todas as definições, incluindo a própria definição em questão.

O diagnóstico de Poincaré e Russell é muito geral. Sempre que generalizamos uma totalidade, pressupomos todas as entidades que compõem essa totalidade. Então, quando tentamos definir uma entidade generalizando sobre uma totalidade a que essa entidade pertenceria, estamos pressupondo tácitamente a entidade que estamos tentando definir. E isso, eles afirmam, envolve um círculo vicioso. A solução para os paradoxos é, portanto, proibir esses círculos, estabelecendo o que Russell chama de Princípio do Círculo Vicioso . Este princípio recebeu uma variedade desconcertante de formulações. Aqui estão dois exemplos famosos (de [[Russell 1908], p.225):

O que quer que envolva toda uma coleção não deve ser uma da coleção.

Se, desde que uma determinada coleção tenha um total, teria membros apenas definíveis em termos desse total, então a referida coleção não tem total.

Em uma análise justamente famosa, Gödel distingue entre as três formas seguintes do Princípio do Círculo Vicioso ([Gödel 1944]):

(VCP1) Nenhuma entidade pode ser definida em termos de uma totalidade a que essa entidade pertence.

(VCP2) Nenhuma entidade pode envolver uma totalidade a que essa entidade pertence.

(VCP3) Nenhuma entidade pode pressupor uma totalidade a que essa entidade pertence.

O mais claro desses princípios é provavelmente (VCP1). Para este princípio é simplesmente uma proibição de definições impredicativas. Este princípio exige que uma definição não generalize sobre uma totalidade a que a entidade definida pertencesse.

De acordo com Gödel, os outros dois princípios (VCP2) e (VCP3) são mais plausíveis do que o primeiro, se não for necessariamente convincente. A tenabilidade destes dois princípios é uma questão fascinante, mas além do alcance desta pesquisa.

Para outras duas apresentações sobre a questão da predicatividade, veja [Giaquinto 2002] e (um pouco mais avançado) [Feferman 2005].

II. Impredicatividade em Matemática Clássica

Suponha que Poincaré e Russell estão certos de que as definições impredicativas devem ser banidas. Que conseqüências teria essa proibição? Logo percebi que a matemática clássica depende fortemente de definições impredicativas. Aqui estão dois exemplos famosos. (Os exemplos inevitavelmente envolvem alguma matemática, mas podem ser desnatados por leitores menos matemáticos.)

Exemplo 1: Aritmética

Em muitas abordagens para os fundamentos da matemática, a propriedade N de ser um número natural é definida da seguinte forma. Um objeto x tem a propriedade N apenas no caso de x ter toda a propriedade F que é tida por zero e é herdada de qualquer número u para seu sucessor u + 1. Ou em símbolos:

Def-N

N (x) ↔ ∀F [F (0) ∧ ∀u (F (u) → F (u + 1)) → F (x)]

Esta definição tem a característica agradável de implicar o princípio da indução matemática, que diz que qualquer propriedade F que é tida por zero e é herdada de qualquer número u para seu sucessor u + 1 é obtida por cada número natural:

∀F {F (0) ∧ ∀u (F (u) → F (u + 1)) → ∀x (N (x) → F (x))}

No entanto, Def-N é impredicativo porque define a propriedade N generalizando sobre todas as propriedades aritméticas, incluindo a que está sendo definida.

Exemplo 2: Análise

Suponha que os números racionais Q foram construídos a partir de conjuntos. Suponha que queremos continuar e construir os números reais R como cortes de racional inferiores de Dedekind. Ou seja, assumimos que queremos representar cada número real por um conjunto de racionais adequados para baixo. Uma tarefa importante será garantir que os cortes Dedekind que usamos para representar números reais possuem a seguinte propriedade, que desempenha um papel fundamental em muitas provas na análise real:

Propriedade mais limitada do limite . Seja X uma coleção não vazia de reais com um limite superior. (Um limite superior de X é um número real que é maior do que qualquer elemento de X.) Então, X tem um limite mínimo superior . Ou seja, X tem um limite superior que é menor ou igual a qualquer outro limite superior de X.

A prova padrão de que a classe de cortes Dedekind tem a Propriedade Least Upper Bound envolve a seguinte definição de um Dedekind cut z, que pode ser visto como sendo o limite inferior de algum determinado conjunto não vazio X que possui um limite superior:

∀q [q ∈ z ↔ ∃y (y ∈ X ∧ q ∈ y)]

No entanto, essa definição do corte Dedekind z é impredicativa porque generaliza sobre todos os cortes Dedekind y.

Respostas à impredicatividade na matemática clássica

Assim, a matemática clássica se baseia em definições impredicativas. O que isso significa para a proibição proposta de tais definições? Foram desenvolvidos três tipos diferentes de respostas.

1. A resposta de Russell e Whitehead em seus famosos Principia Mathematica foi adotar o axioma da redutibilidade. Esses axiomas dizem (vagamente falando) que toda definição impredicativa pode ser transformada em uma predicativa. No entanto, esses axiomas atingiram a maioria das pessoas de forma intoleravelmente ad hoc .
2. Outra resposta foi iniciada por Hermann Weyl [Weyl 1918] e, mais recentemente, foi perseguida por Salomão Feferman. (Veja [Feferman 1998], bem como [Feferman 2005] para uma pesquisa.) Esta resposta é reconstruir o máximo possível de matemática clássica de uma forma que evite o uso de definições impredicativas. Embora esta abordagem seja difícil de realizar e às vezes bastante pesada, descobriu-se que uma quantidade surpreendentemente grande de matemática - incluindo a maior parte do que é necessário para fins de ciência empírica - pode ser reconstruída de forma predicativa dada a natureza natural números.
3. Uma terceira resposta está associada ao Gödel. O fato de que a matemática clássica usa definições impredicativas deve, segundo Gödel, ser considerada uma refutação do princípio do círculo vicioso e sua proibição de definições impredicativas e não o contrário. Nas palavras de Gödel, devemos "considerar isso como uma prova de que o princípio do círculo vicioso é falso do que a matemática clássica é falsa". ([Gödel 1944], p.194)

III. Defesas de definições impredicativas

A resposta de Gödel que acabamos de considerar equivale a uma defesa pragmática de definições impredicativas. Como a matemática clássica é uma disciplina cientificamente respeitável, temos boas razões para acreditar que suas principais formas de definição são legítimas, incluindo muitas impredicativas. Mas, embora essa defesa pragmática das definições impredicativas tenha força significativa, seria útil saber por que essas definições são legítimas, apesar da circularidade aparente. Vamos agora considerar algumas tentativas de resposta a esta questão, incluindo uma devido ao próprio Gödel.

Nossa jornada começa com as "Fundações da Matemática" de Frank Ramsey ([Ramsey 1931]), escritas em 1925 quando tinha apenas 22 anos. Ramsey fornece alguns exemplos de definições impredicativas que parecem totalmente incompatíveis:

(5) Deixe Julius ser a pessoa mais alta da sala.

(6) Seja f (p, q) a verdade-função que é a conjunção de p, q, pvq e p ∧ q.

(A função de verdade é uma função de valores de verdade para valores de verdade.) Essas definições são impredicativa porque (5) generaliza sobre todas as pessoas na sala, incluindo Julius (quem ele ou ela acaba por ser) e porque (6 ) define a função de verdade f (p, q) generalizando sobre as quatro funções de verdade listadas, uma das quais é facilmente vista como idêntica a f (p, q), ou seja, p ∧ q.

Ramsey certamente está certo de que essas duas definições são inofensivas. Mas por que isso é assim? Ramsey não é inteiramente explícito aqui. Sua idéia central parece ser que uma definição impredicativa é permitida desde que a entidade definida possa pelo menos, em princípio, ser especificada ou caracterizada independentemente da totalidade em termos dos quais ela é definida. Na verdade, Julius (quem quer que seja) pode ser especificado apontando para uma pessoa, e f (p, q), por meio de uma verdadeira tabela.

Este tema de especificidade independente é desenvolvido ainda mais em um artigo influente de Paul Bernays, [Bernays 1935]. Bernays está particularmente interessado em nossa concepção de conjuntos, o que, segundo ele, não exige que todos os conjuntos sejam explicitamente definíveis. Considere primeiro o caso de um conjunto finito, digamos um conjunto S com n elementos. Por meio do que Bernays chama de "raciocínio combinatório" - isto é, raciocínio baseado no agrupamento e seleção de objetos - estabelecemos que S possui 2 n subconjuntos. Nós estabelecemos isso observando que todos os diferentes subconjuntos de S correspondem a todas as diferentes maneiras de fazer uma escolha independente sobre se cada elemento de S deve ser incluído em algum subconjunto dado. Não é necessário definir todos os subconjuntos explicitamente.

Muito parecido com conjuntos infinitos, de acordo com Bernays. Nossa concepção de conjuntos infinitos é "quase combinatória" no sentido de que se baseia em uma analogia com a concepção combinatória de conjuntos finitos. Por exemplo, isso nos permite estabelecer que o número de subconjuntos do conjunto N de números naturais é 2 ω , onde ω é a cardinalidade ou o tamanho de N. Note que esse fato é estabelecido sem necessidade de fornecer uma definição explícita de todos os subconjuntos.

A concepção quase combinatória de conjuntos garante que os conjuntos podem, pelo menos em princípio, ser especificados independentemente das suas definições. E isso, por sua vez, garante que as definições impredicativas de conjuntos são permitidas. Isso ocorre porque os conjuntos não dependem de suas definições explícitas, se houver, mas sim estão vinculados às suas especificações quase combinatoriais.

Gödel também fornece uma defesa filosófica de definições impredicativas, que complementa sua defesa pragmática mencionada acima. Essa defesa filosófica tem sido muito influente e é a fonte do que é provavelmente a visão dominante e contemporânea sobre o assunto. De acordo com Gödel, as definições impredicativas são de fato problemáticas se alguém acreditar que os objetos matemáticos são, de alguma forma, construídos por nós. Para:

a construção de uma coisa certamente não pode ser baseada em uma totalidade de coisas a que o objeto a ser construído pertence. ([Gödel 1944], p. 136)

Mas não existe esse problema, se, em vez disso, se mantém uma visão realista de objetos matemáticos:

Se, no entanto, é uma questão de objetos que existem independentemente de nossas construções, não há nada pelo menos absurdo na existência de totalidades que contenham membros que podem ser descritas [...] apenas por referência a essa totalidade. ( ibid. )

A visão de Gödel é, portanto, que uma proibição de definições impredicativas se justifica se alguém tiver uma visão construtivista das entidades envolvidas, mas não se alguém tiver uma visão realista.

Isso significa que a análise de Gödel difere de Ramsey e Bernays '. Gödel baseia a legitimidade de definições impredicativas sobre a existência independente das entidades em questão, enquanto Ramsey e Bernays baseiam-na na especificidade independente dessas entidades . Qual análise é mais plausível? Exemplos como (5) são bem tratados por ambas as análises. Mas outros exemplos são tratados muito melhor pela análise de Ramsey-Bernay do que pela de Gödel. Por exemplo, parece improvável que se trate de um realista sobre as funções da verdade para aceitar a legitimidade da definição impredicativa de Ramsey (6). Na mesma linha, parece improvável que seja preciso realismo sobre personagens de ficção para aceitar a legitimidade da seguinte definição impredicativa.

(7) Deixe Julia ser o personagem mais bonito da história da Cinderela.

Claramente, Julia é idêntica à Cinderela. E essa identificação não requer um personagem fictício para desfrutar de uma existência real ou independente.

Essas considerações sugerem que a análise de Ramsey-Bernays tem pelo menos tanto plausibilidade inicial como a de Gödel. Mas será necessária mais investigação para resolver o assunto, a qual, provavelmente abordarei num momento futuro.