LÓGICA MODAL: UMA INTRODUÇÃO
LÓGICA MODAL
UMA INTRODUÇÃO METATEÓRICA
VINICIUS DIAS DE SOUZA
LÓGICA MODAL
UMA INTRODUÇÃO METATEÓRICA
VINICIUS DIAS DE SOUZA
1. O que é Lógica Modal?
Construído estreitamente, a lógica modal estuda o raciocínio que envolve o uso das expressões "necessariamente" e "possivelmente". No entanto, o termo "lógica modal" é usado de forma mais ampla para cobrir uma família de lógicas com regras semelhantes e uma variedade de símbolos diferentes.
Uma lista descrevendo as mais conhecidas dessas lógicas segue.
Lógica Símbolos Expressões Simbolizadas Lógica Modal □ É necessário que ... ◊ É possível que … Lógica deontica O É obrigatório que ... P É permitido que ... F É proibido que ... Lógica Temporal G Será sempre o caso ... F Será o caso ... H Sempre foi o caso ... P Foi o caso que ... Lógica doxástica B x x acredita que ...
Construído estreitamente, a lógica modal estuda o raciocínio que envolve o uso das expressões "necessariamente" e "possivelmente". No entanto, o termo "lógica modal" é usado de forma mais ampla para cobrir uma família de lógicas com regras semelhantes e uma variedade de símbolos diferentes.
Uma lista descrevendo as mais conhecidas dessas lógicas segue.
Lógica Símbolos Expressões Simbolizadas Lógica Modal □ É necessário que ... ◊ É possível que … Lógica deontica O É obrigatório que ... P É permitido que ... F É proibido que ... Lógica Temporal G Será sempre o caso ... F Será o caso ... H Sempre foi o caso ... P Foi o caso que ... Lógica doxástica B x x acredita que ...
2. Logs Modais
As lógicas mais familiares da família modal são construídas a partir de uma lógica fraca chamada K (após Saul Kripke). Sob a leitura estreita, a lógica modal diz respeito à necessidade e à possibilidade. Uma variedade de sistemas diferentes podem ser desenvolvidos para tais lógicas usando K como base. Os símbolos de K incluem '~' para 'not', '→' para 'if ... then' e '□' para o operador modal 'é necessário que'. (Os conectivos 'e', '∨' e '↔' podem ser definidos de '~' e '→' como é feito na lógica proposicional.) K resulta da adição dos seguintes aos princípios da lógica proposicional.
Regra necessitação: Se A é um teorema de K , então que assim seja □ A .
Axioma de distribuição: □ ( A → B ) → (□ A → □ B ).
(Nestes princípios usamos ' A ' e ' B ' como metavariáveis variando em fórmulas da linguagem.) De acordo com a Regra de Necessidade, é necessário qualquer teorema da lógica. Distribuição Axiom diz que, se é necessário que se A então B , em seguida, se necessariamente A , então necessariamente B .
O ◊ operador (por 'eventualmente') pode ser definida a partir □ deixando ◊ A = ~ □ ~ A . Em K , os operadores □ e ◊ se comportam muito como os quantificadores ∀ (todos) e ∃ (alguns). Por exemplo, a definição de ◊ de □ reflete a equivalência de ∀ x A com ~ ∃ x ~ A na lógica de predicado. Além disso, □ ( A & B ) implica □ A & □ B e vice-versa; enquanto □ A ∨ □ B implica □ (A∨ B ), mas não vice-versa. Isso reflete os padrões exibidos pelo quantificador universal: ∀ x (A& B ) implica ∀ x A & ∀ x B e vice-versa, enquanto ∀ x A ∨ ∀ x B implica ∀ x ( A ∨ B ), mas não vice-versa. Paralelas semelhantes entre ◊ e ∃ podem ser desenhadas. A base dessa correspondência entre os operadores modais e os quantificadores emergirá mais claramente na seção sobre Semântica dos Mundos Possíveis .
O sistema K é muito fraco para fornecer uma conta adequada da necessidade. O seguinte axioma não é provável em K , mas é claramente desejável.
( M ) □ A → A
( M ) afirma que o que for necessário é o caso. Observe que ( M ) seria incorreto: □ ser lido "deve ser isso", ou "foi o caso". Portanto, a presença do axioma ( M ) distingue as lógicas para a necessidade de outras lógicas na família modal. A base lógica modal M resulta da adição de ( H ) para K . (Alguns autores chamam este sistema T ).
Muitos lógicos acreditam que M ainda é muito fraco para formalizar corretamente a lógica da necessidade e da possibilidade. Eles recomendam outros axiomas para governar a iteração, ou a repetição de operadores modais. Aqui estão dois dos axiomas de iteração mais famosos:
(4) □ A → □□ A
(5) ◊ A → □ ◊ A
S4 é o sistema que resulta da adição de (4) para H . Da mesma forma, S5 é M plus (5). Em S4 , a frase □□ A é equivalente a □ Uma . Como resultado, qualquer cadeia de caixas pode ser substituída por uma única caixa, e o mesmo acontece com as cordas de diamantes. Isso equivale à idéia de que a iteração dos operadores modais é supérflua. Dizer que A é necessariamente necessário é considerado uma maneira inutilmente longa de dizer que A é necessário. O sistema S5 tem princípios ainda mais fortes para simplificar as cadeias de operadores modais. Em S4 , uma série de operadores do mesmo tipo pode ser substituído por esse operador; no S5 , as cordas que contêm caixas e diamantes são equivalentes ao último operador na string. Então, por exemplo, dizer que é possível que A seja necessário é o mesmo que dizer que A é necessário. Um resumo dessas características de S4 e S5 segue.
S4 : □□ ... □ = □ e ◊◊ ... ◊ = ◊
S5 : 00 ... □ = □ e 00 ... ◊ = ◊, onde cada 0 é ou □ ou ◊
Pode-se envolver em discussões sem fim sobre a correção ou incorreção desses e outros princípios de iteração para □ e ◊. A controvérsia pode ser parcialmente resolvida ao reconhecer que as palavras "necessariamente" e "possivelmente" têm muitos usos diferentes. Portanto, a aceitabilidade dos axiomas para a lógica modal depende de qual desses usos temos em mente. Por esta razão, não há uma lógica modal, mas sim toda uma família de sistemas construídos em tornoM . A relação entre esses sistemas é diagramada na Seção 8 , e sua aplicação para diferentes usos de "necessariamente" e "possivelmente" pode ser mais profundamente compreendida ao estudar a sua possível semântica mundial na Seção 6 .
O sistema B (para o lógico Brouwer) é formado pela adição axioma ( B ) para H .
( B ) A → □ ◊ A
É interessante notar que S5 pode ser formulado de forma equivalente adicionando ( B ) a S4 . O axioma ( B ) levanta um ponto importante sobre a interpretação de fórmulas modais. ( B ) diz que se A é o caso, então A é necessariamente possível. Pode-se argumentar que ( B ) sempre deve ser adotado em qualquer lógica modal, com certeza se A é o caso, então é necessário que A seja possível. No entanto, há um problema com essa afirmação que pode ser exposta observando que ◊ □ A → A é provável a partir de ( B ). Então ◊ □ A→ A deve ser aceitável se ( B ) for. No entanto, ◊ □ A → A diz que se A é possivelmente necessário, então A é o caso, e isso está longe de ser óbvio. Por que ( B ) parece óbvio, enquanto uma das coisas que isso implica não parece óbvia? A resposta é que há uma ambiguidade perigosa na interpretação Inglês de A → □ ◊ A . Muitas vezes, usamos a expressão 'Se A então necessariamente B ' para expressar que o condicional 'se A então B ' é necessário. Esta interpretação corresponde a □ ( A →B ). Em outras ocasiões, queremos dizer que, se A , então B é necessário: Um → □ B . Em inglês, "necessariamente" é um advérbio, e como os advérbios geralmente são colocados perto dos verbos, não temos nenhuma maneira natural de indicar se o operador modal se aplica a todo o condicional, ou ao seu consequente. Por estas razões, há uma tendência a confundir ( B ): A → □ ◊ A com □ ( A → ◊ A ). Mas □ ( A → ◊ A ) não é o mesmo que ( B ), para □ ( A → ◊ A ) já é um teorema de M e (B ) não é. É preciso ter cuidado especial para que nossa reação positiva a □ ( A → ◊ A ) não infecte nossa avaliação de ( B). Uma maneira simples de nos proteger é formular B de forma equivalente usando o axioma: ◊ □ A → A , onde essas ambigüidades de alcance não surgem.
As lógicas mais familiares da família modal são construídas a partir de uma lógica fraca chamada K (após Saul Kripke). Sob a leitura estreita, a lógica modal diz respeito à necessidade e à possibilidade. Uma variedade de sistemas diferentes podem ser desenvolvidos para tais lógicas usando K como base. Os símbolos de K incluem '~' para 'not', '→' para 'if ... then' e '□' para o operador modal 'é necessário que'. (Os conectivos 'e', '∨' e '↔' podem ser definidos de '~' e '→' como é feito na lógica proposicional.) K resulta da adição dos seguintes aos princípios da lógica proposicional.
Regra necessitação: Se A é um teorema de K , então que assim seja □ A .Axioma de distribuição: □ ( A → B ) → (□ A → □ B ).
(Nestes princípios usamos ' A ' e ' B ' como metavariáveis variando em fórmulas da linguagem.) De acordo com a Regra de Necessidade, é necessário qualquer teorema da lógica. Distribuição Axiom diz que, se é necessário que se A então B , em seguida, se necessariamente A , então necessariamente B .
O ◊ operador (por 'eventualmente') pode ser definida a partir □ deixando ◊ A = ~ □ ~ A . Em K , os operadores □ e ◊ se comportam muito como os quantificadores ∀ (todos) e ∃ (alguns). Por exemplo, a definição de ◊ de □ reflete a equivalência de ∀ x A com ~ ∃ x ~ A na lógica de predicado. Além disso, □ ( A & B ) implica □ A & □ B e vice-versa; enquanto □ A ∨ □ B implica □ (A∨ B ), mas não vice-versa. Isso reflete os padrões exibidos pelo quantificador universal: ∀ x (A& B ) implica ∀ x A & ∀ x B e vice-versa, enquanto ∀ x A ∨ ∀ x B implica ∀ x ( A ∨ B ), mas não vice-versa. Paralelas semelhantes entre ◊ e ∃ podem ser desenhadas. A base dessa correspondência entre os operadores modais e os quantificadores emergirá mais claramente na seção sobre Semântica dos Mundos Possíveis .
O sistema K é muito fraco para fornecer uma conta adequada da necessidade. O seguinte axioma não é provável em K , mas é claramente desejável.
( M ) □ A → A
( M ) afirma que o que for necessário é o caso. Observe que ( M ) seria incorreto: □ ser lido "deve ser isso", ou "foi o caso". Portanto, a presença do axioma ( M ) distingue as lógicas para a necessidade de outras lógicas na família modal. A base lógica modal M resulta da adição de ( H ) para K . (Alguns autores chamam este sistema T ).
Muitos lógicos acreditam que M ainda é muito fraco para formalizar corretamente a lógica da necessidade e da possibilidade. Eles recomendam outros axiomas para governar a iteração, ou a repetição de operadores modais. Aqui estão dois dos axiomas de iteração mais famosos:
(4) □ A → □□ A
(5) ◊ A → □ ◊ A
S4 é o sistema que resulta da adição de (4) para H . Da mesma forma, S5 é M plus (5). Em S4 , a frase □□ A é equivalente a □ Uma . Como resultado, qualquer cadeia de caixas pode ser substituída por uma única caixa, e o mesmo acontece com as cordas de diamantes. Isso equivale à idéia de que a iteração dos operadores modais é supérflua. Dizer que A é necessariamente necessário é considerado uma maneira inutilmente longa de dizer que A é necessário. O sistema S5 tem princípios ainda mais fortes para simplificar as cadeias de operadores modais. Em S4 , uma série de operadores do mesmo tipo pode ser substituído por esse operador; no S5 , as cordas que contêm caixas e diamantes são equivalentes ao último operador na string. Então, por exemplo, dizer que é possível que A seja necessário é o mesmo que dizer que A é necessário. Um resumo dessas características de S4 e S5 segue.
S4 : □□ ... □ = □ e ◊◊ ... ◊ = ◊
S5 : 00 ... □ = □ e 00 ... ◊ = ◊, onde cada 0 é ou □ ou ◊
Pode-se envolver em discussões sem fim sobre a correção ou incorreção desses e outros princípios de iteração para □ e ◊. A controvérsia pode ser parcialmente resolvida ao reconhecer que as palavras "necessariamente" e "possivelmente" têm muitos usos diferentes. Portanto, a aceitabilidade dos axiomas para a lógica modal depende de qual desses usos temos em mente. Por esta razão, não há uma lógica modal, mas sim toda uma família de sistemas construídos em tornoM . A relação entre esses sistemas é diagramada na Seção 8 , e sua aplicação para diferentes usos de "necessariamente" e "possivelmente" pode ser mais profundamente compreendida ao estudar a sua possível semântica mundial na Seção 6 .
O sistema B (para o lógico Brouwer) é formado pela adição axioma ( B ) para H .
( B ) A → □ ◊ A
É interessante notar que S5 pode ser formulado de forma equivalente adicionando ( B ) a S4 . O axioma ( B ) levanta um ponto importante sobre a interpretação de fórmulas modais. ( B ) diz que se A é o caso, então A é necessariamente possível. Pode-se argumentar que ( B ) sempre deve ser adotado em qualquer lógica modal, com certeza se A é o caso, então é necessário que A seja possível. No entanto, há um problema com essa afirmação que pode ser exposta observando que ◊ □ A → A é provável a partir de ( B ). Então ◊ □ A→ A deve ser aceitável se ( B ) for. No entanto, ◊ □ A → A diz que se A é possivelmente necessário, então A é o caso, e isso está longe de ser óbvio. Por que ( B ) parece óbvio, enquanto uma das coisas que isso implica não parece óbvia? A resposta é que há uma ambiguidade perigosa na interpretação Inglês de A → □ ◊ A . Muitas vezes, usamos a expressão 'Se A então necessariamente B ' para expressar que o condicional 'se A então B ' é necessário. Esta interpretação corresponde a □ ( A →B ). Em outras ocasiões, queremos dizer que, se A , então B é necessário: Um → □ B . Em inglês, "necessariamente" é um advérbio, e como os advérbios geralmente são colocados perto dos verbos, não temos nenhuma maneira natural de indicar se o operador modal se aplica a todo o condicional, ou ao seu consequente. Por estas razões, há uma tendência a confundir ( B ): A → □ ◊ A com □ ( A → ◊ A ). Mas □ ( A → ◊ A ) não é o mesmo que ( B ), para □ ( A → ◊ A ) já é um teorema de M e (B ) não é. É preciso ter cuidado especial para que nossa reação positiva a □ ( A → ◊ A ) não infecte nossa avaliação de ( B). Uma maneira simples de nos proteger é formular B de forma equivalente usando o axioma: ◊ □ A → A , onde essas ambigüidades de alcance não surgem.
3. Logs Deônticos
As lógicas deóticas introduzem o símbolo primitivo O para 'é obrigatório que', a partir do qual os símbolos P para 'é permitido que' e F para 'é proibido que' sejam definidos: P A = ~ O ~ A e F A = O ~ A . O análogo deontico do axioma modal ( M ): O A → A não é claramente apropriado para a lógica deontica. (Infelizmente, o que deveria ser não é sempre o caso.) No entanto, um sistema básico D da lógica deontica pode ser construído adicionando o axioma mais fraco ( D) Para K .
( D ) O A → P A
Axioma ( D ) garante a consistência do sistema de obrigações, insistindo que, quando A for obrigatória, A é permitida. Um sistema que nos obriga a trazer A , mas não nos permite fazer isso, nos coloca em um vínculo inescapável. Embora alguns possam argumentar que tais conflitos de obrigações são pelo menos possíveis, a maioria dos lógicos deonticos aceita ( D ).
O ( O A → A ) é outro axioma deontico que parece desejável. Embora seja errado dizer que se A é obrigatório, então A é o caso ( O A → A ), ainda assim, este condicional deve ser o caso. Assim, alguns lógicos logísticos acreditam que D precisa ser complementado com O ( O A → A ) também.
O controvérito sobre a iteração (repetição) dos operadores surge novamente na lógica deontica. Em algumas concepções de obrigação, ó ó A apenas equivale a O A . "Deveria ser que deveria ser" é tratado como uma espécie de gagueira; O extra "não deve adicionar nada de novo". Então axiomas são adicionados para garantir a equivalência de O O A e O A . A política de iteração mais geral incorporada no S5 também pode ser adotada. No entanto, existem concepções de obrigação onde a distinção entre O A e O O Aé preservado. A ideia é que existem diferenças genuínas entre as obrigações que realmente temos e as obrigações que devemos adotar. Então, por exemplo, "deve ser que deveria ser que A 'comanda a adoção de alguma obrigação que na verdade não pode estar no lugar, com o resultado de que O O A pode ser verdade mesmo quando O A é falso.
As lógicas deóticas introduzem o símbolo primitivo O para 'é obrigatório que', a partir do qual os símbolos P para 'é permitido que' e F para 'é proibido que' sejam definidos: P A = ~ O ~ A e F A = O ~ A . O análogo deontico do axioma modal ( M ): O A → A não é claramente apropriado para a lógica deontica. (Infelizmente, o que deveria ser não é sempre o caso.) No entanto, um sistema básico D da lógica deontica pode ser construído adicionando o axioma mais fraco ( D) Para K .
( D ) O A → P A
Axioma ( D ) garante a consistência do sistema de obrigações, insistindo que, quando A for obrigatória, A é permitida. Um sistema que nos obriga a trazer A , mas não nos permite fazer isso, nos coloca em um vínculo inescapável. Embora alguns possam argumentar que tais conflitos de obrigações são pelo menos possíveis, a maioria dos lógicos deonticos aceita ( D ).
O ( O A → A ) é outro axioma deontico que parece desejável. Embora seja errado dizer que se A é obrigatório, então A é o caso ( O A → A ), ainda assim, este condicional deve ser o caso. Assim, alguns lógicos logísticos acreditam que D precisa ser complementado com O ( O A → A ) também.
O controvérito sobre a iteração (repetição) dos operadores surge novamente na lógica deontica. Em algumas concepções de obrigação, ó ó A apenas equivale a O A . "Deveria ser que deveria ser" é tratado como uma espécie de gagueira; O extra "não deve adicionar nada de novo". Então axiomas são adicionados para garantir a equivalência de O O A e O A . A política de iteração mais geral incorporada no S5 também pode ser adotada. No entanto, existem concepções de obrigação onde a distinção entre O A e O O Aé preservado. A ideia é que existem diferenças genuínas entre as obrigações que realmente temos e as obrigações que devemos adotar. Então, por exemplo, "deve ser que deveria ser que A 'comanda a adoção de alguma obrigação que na verdade não pode estar no lugar, com o resultado de que O O A pode ser verdade mesmo quando O A é falso.
4. Logs temporais
Na lógica temporal (também conhecida como lógica tensa), existem dois operadores básicos, Gpara o futuro e H para o passado. L é lido 'será sempre que' e o operador definido F (li 'será o caso que') pode ser introduzido por F A = ~ L ~ A . Da mesma forma H é lido: 'era sempre que' e P (para 'que era o caso de que') é definido por P A = ~ H ~ O . Um sistema básico de lógica temporal chamado Kt resulta da adoção dos princípios de K para ambos Ge H , juntamente com dois axiomas para governar a interação entre o passado e os futuros operadores:
Regras “necessitação”:
Se A é um teorema assim são L A e H Uma .
Axiomas de distribuição:
G ( A → B ) → ( G A → G B ) e H ( A → B ) → ( H A → H B )
Axiomas de interação:
A → G P A e A → H F A
Os axiomas de interação suscitam questões sobre as assimetrias entre o passado e o futuro. Uma intuição padrão é que o passado é corrigido, enquanto o futuro ainda está aberto. O primeiro axioma de interação ( A → G P A ) está em conformidade com essa intuição ao relatar que o que é o caso ( A ), será no passado ( G P A ). No entanto, A → H F A pode parecer possuir conhecimentos inaceitavelmente deterministas, pois alega, aparentemente, que o que é verdadeiro agora ( A ) sempre foi tal que ocorrerá no futuro ( H F A). No entanto, a possível semântica mundial para a lógica temporal revela que esta preocupação resulta de uma simples confusão e que os dois axiomas de interação são igualmente aceitáveis.
Note-se que o axioma característico da lógica modal, ( M ): □ A → A , não é aceitável para H ou G , uma vez que A não segue de "sempre foi o caso de A ", nem de "sempre será o caso de A '. No entanto, é aceitável em uma lógica temporal intimamente relacionada onde G é lido "é e sempre será", e H é lido "é e sempre foi".
Dependendo de quais pressupostos se faz sobre a estrutura do tempo, outros axiomas devem ser adicionados às lógicas temporais. Uma lista de axiomas comumente adotados na lógica temporal segue. Uma conta de como eles dependem da estrutura do tempo será encontrada na seção Possíveis mundos da semântica .
G A → G G A e H A → H H A
G G A → G A e H H A → H A
G A → F A e H A → P A
É interessante notar que certas combinações de operadores do tempo passado e do tempo futuro podem ser usadas para expressar tempos complexos em inglês. Por exemplo, F P A , corresponde à frase A no tempo perfeito futuro, (como em '20 segundos a partir de agora a luz mudará '). Da mesma forma, P P A expressa o passado perfeito.
Para uma discussão mais detalhada, veja a entrada na lógica temporal .
Na lógica temporal (também conhecida como lógica tensa), existem dois operadores básicos, Gpara o futuro e H para o passado. L é lido 'será sempre que' e o operador definido F (li 'será o caso que') pode ser introduzido por F A = ~ L ~ A . Da mesma forma H é lido: 'era sempre que' e P (para 'que era o caso de que') é definido por P A = ~ H ~ O . Um sistema básico de lógica temporal chamado Kt resulta da adoção dos princípios de K para ambos Ge H , juntamente com dois axiomas para governar a interação entre o passado e os futuros operadores:
Regras “necessitação”:
Se A é um teorema assim são L A e H Uma .
Axiomas de distribuição:
G ( A → B ) → ( G A → G B ) e H ( A → B ) → ( H A → H B )Axiomas de interação:
A → G P A e A → H F A
Os axiomas de interação suscitam questões sobre as assimetrias entre o passado e o futuro. Uma intuição padrão é que o passado é corrigido, enquanto o futuro ainda está aberto. O primeiro axioma de interação ( A → G P A ) está em conformidade com essa intuição ao relatar que o que é o caso ( A ), será no passado ( G P A ). No entanto, A → H F A pode parecer possuir conhecimentos inaceitavelmente deterministas, pois alega, aparentemente, que o que é verdadeiro agora ( A ) sempre foi tal que ocorrerá no futuro ( H F A). No entanto, a possível semântica mundial para a lógica temporal revela que esta preocupação resulta de uma simples confusão e que os dois axiomas de interação são igualmente aceitáveis.
Note-se que o axioma característico da lógica modal, ( M ): □ A → A , não é aceitável para H ou G , uma vez que A não segue de "sempre foi o caso de A ", nem de "sempre será o caso de A '. No entanto, é aceitável em uma lógica temporal intimamente relacionada onde G é lido "é e sempre será", e H é lido "é e sempre foi".
Dependendo de quais pressupostos se faz sobre a estrutura do tempo, outros axiomas devem ser adicionados às lógicas temporais. Uma lista de axiomas comumente adotados na lógica temporal segue. Uma conta de como eles dependem da estrutura do tempo será encontrada na seção Possíveis mundos da semântica .
G A → G G A e H A → H H A
G G A → G A e H H A → H AG A → F A e H A → P A
É interessante notar que certas combinações de operadores do tempo passado e do tempo futuro podem ser usadas para expressar tempos complexos em inglês. Por exemplo, F P A , corresponde à frase A no tempo perfeito futuro, (como em '20 segundos a partir de agora a luz mudará '). Da mesma forma, P P A expressa o passado perfeito.
Para uma discussão mais detalhada, veja a entrada na lógica temporal .
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